[정렬] 정렬 (2) 퀵 정렬 / 계수 정렬

(1) 퀵 정렬

• 기준을 설정한 다음, 큰 수와 작은 수를 교환한 후 리스트를 반으로 나누는 방식으로 동작
• '피벗 pivot' 사용
  • 큰 숫자와 작은 숫자를 교환할 때, 교환하기 위한 기준
  • 퀵 정렬 수행 전, 피벗을 어떻게 설정할 것인지 미리 명시 필요
  • 대표적인 분할 방식으로 호어 분할 방식이 있음
• 호어 분할 방식
  • 리스트의 첫 번째 데이터를 피벗으로 정함
• 동작과정
  • 특정한 리스트에서 피벗을 설정한 뒤, 왼쪽에서부터 피벗보다 큰 데이터를 찾고, 오른쪽에서부터 피벗보다 작은 데이터를 찾음. 그 후, 큰 데이터와 작은 데이터를 스왑. 이 과정을 반복하면 피벗에 대하여 정렬이 수행됨. 다시 피벗을 기준으로 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트에 각각 정렬 수행.
• 동작과정 예시: [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8] 이라고 할 때
  • 퀵 정렬은 3개의 파트로 나누어짐
  • 첫 번째 파트
    1. 리스트의 첫 번째 데이터인 5가 피벗이 됨. 왼쪽에서부터 5보다 큰 데이터를 선택하므로 7이 선택되고, 오른쪽에서부터 5보다 작은 데이터를 선택하므로 4가 선택됨. 7과 4의 위치를 변경 ➡️ [5, 4, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 7, 8]
    2. 다시 피벗인 5보다 큰 데이터와 작은 데이터를 각각 찾은 후 스왑. 9와 2가 스왑됨 ➡️ [5, 4, 2, 0, 3, 1, 6, 9, 7, 8]
    3. 다시 피벗인 5보다 큰 데이터와 작은 데이터를 찾음. 단, 현재 왼쪽에서부터 찾는 값과 오른쪽에서부터 찾는 값의 위치가 서로 엇갈림. 두 값이 엇갈린 경우, '작은 데이터'와 '피벗'의 위치를 서로 변경. 즉, 작은 데이터인 1과 피벗인 5 위치 변경 ➡️ [1, 4, 2, 0, 3, 5, 6, 9, 7, 8]
    4. 분할 완료. 피벗이 이동한 상태에서 피벗을 기준으로 왼쪽 리스트는 모드 5보다 작고, 오른쪽 리스트는 모두 5보다 큼. 이렇게 피벗의 왼쪽에는 피벗보다 작은 데이터가 위치하고, 피벗의 오른쪽에는 피벗보다 큰 데이터가 위치하도록 만드는 작업을 '분할' or '파티션'이라고 함.
  • 두 번째 파트
    1. 왼쪽 리스트에도 피벗을 설정하여 동일한 방식으로 정렬 수행
  • 세 번째 파트
    1.  오른쪽 리스트에도 피벗을 설정하여 동일한 방식으로 정렬 수행
• 재귀함수로 구현 가능
  • 종료 조건: 리스트의 원소가 1개라면 이미 정렬이 되어 있다고 간주하여 분할이 불가능함.
• 소스코드 ver.1
  • 널리 사용되는 형태의 퀵 정렬 소스코드

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

# 퀵 정렬
def quick_sort(array, start, end):
  if start >= end: # 원소가 1개인 경우 종료
    return
  pivot = start # 피봇은 리스트의 첫 번째 원소
  left = start + 1
  right = end
  while left <= right:
    # 피봇보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
    while left <= end and array[left] <= array[pivot]:
      left += 1
    # 피봇보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
    while right > start and array[right] >= array[pivot]:
      right -= 1
    if left > right: # 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗 교체
      array[pivot], array[right] = array[right], array[pivot]
    else: # 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터체
      array[left], array[right] = array[right], array[left]
  # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 퀵 정렬 수행
  quick_sort(array, start, right - 1)
  quick_sort(array, right + 1, end)

quick_sort(array, 0, len(array) - 1)
print(array)

• 소스코드 ver.2
  • 파이썬의 장점을 살려 짧게 작성한 퀵 정렬 소스코드
  • 피벗과 데이터를 비교하는 비교 연산 횟수가 증가하므로 시간 면에서는 비효율적
  • 그래도 더 직관적이고 기억하기 쉬움

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

# 파이썬의 장점을 살린 퀵 정렬
def quick_sort(array):
  # 리스트가 하나 이하의 원소만 담고 있다면 종료
  if len(array) <= 1:
    return array
  
  pivot = array[0] # 피벗은 첫 번째 원소
  tail = array[1:] # 피벗을 제외한 리스트

  left_side = [x for x in tail if x <= pivot] # 분할된 왼쪽 부분
  right_side = [x for x in tail if x > pivot] # 분할된 오른쪽 부분
  
  # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬을 수행하고, 전체 리스트 반환
  return quick_sort(left_side) + [pivot] + quick_sort(right_side)

print(quick_sort(array))

• 퀵 정렬의 시간 복잡도
  • 평균 시간 복잡도는 O(NlogN)
    • 선택 & 삽입 정렬보다 효율적
    • 데이터의 개수가 많을 수록 선택 & 삽입 정렬보다 압도적으로 빠르게 동작
  • 최악의 경우 시간 복잡도는 O(N^2)
    • 이미 데이터가 정렬되어 있는 경우에 퀵 정렬은 매우 느리게 동작 (삽입정렬과 반대)
    • 반면 데이터가 무작위로 입력될 경우 퀵 정렬은 매우 빠름

(2) 계수 정렬

• 특정한 조건이 부합할 때만 사용할 수 있지만, 매우 빠른 정렬 알고리즘
  • 모든 데이터가 양의 정수일 경우, 데이터의 개수가 N, 데이터 중 최댓값이 K일 때, 계수 정렬은 최악의 경우에도 시간복잡도가 O(N + K)이므로 매우 빠름
• 데이터의 크기 범위가 제한되어 정수 형태로 표현할 수 있을 때만 사용 가능
  • 데이터의 값이 무한한 범위를 가질 수 있는 실수형 데이터가 주어지는 경우, 계수 정렬 사용 불가
  • 데이터의 크기가 제한되어 있을 때에 한해서 데이터의 개수가 매우 많더라도 빠르게 동작
• 모든 범위를 담을 수 있는 크기의 리스트(배열)를 선언해야 함
  • 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 차이가 1,000,000을 넘지 않을 때 효과적으로 사용 가능
  • 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 차이가 1,000,000이라면 총 1,000,001개의 데이터가 들어갈 수 있는 리스트를 초기화해야 함. (0부터 1,000,000까지 총 1,000,001개의 수를 저장하라 수있는 리스트)
• 선택/삽입/퀵 정렬과 같은 비교 기반 알고리즘이 아님
• 별도의 리스트를 선언하고 그 안에 정렬에 대한 정보를 담는 형태
• 동작과정
  • 먼저 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 범위가 모두 담길 수 있도록 하나의 리스트 생성
  • 그 다음, 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시킴  
• 동작과정 예시: [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2]인 경우 
  1. 정렬할 데이터의 범위가 0부터 9까지이므로, 리스트의 인덱스가 모든 범위를 포함할 수 있도록 크기가 10인 리스트 선언 & 리스트의 모든 데이터를 0으로 초기화
  2. 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가 (아래 이미지 참고)
  3. 결과적으로 리스트에는 각 데이터가 몇 번 등장했는지 횟수가 기록됨. ex) 5번 인덱스의 값이 2이므로 5가 2번 등장한 것 
  4. 리스트의 첫 번째 데이터부터 하나씩 그 값만큼 인덱스를 출력하면 정렬 결과를 확인할 수 있음 

• 소스코드

# 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2]

# 모든 범위를 포함하는 리스트 선언 (모든 값은 0으로 초기화)
count = [0] * (max(array) + 1)

for i in range(len(array)):
  count[array[i]] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가

for i in range(len(count)): # 리스트에 기록된 정렬 정보 확인
  for j in range(count[i]):
    print(i, end = ' ') # 띄어쓰기를 구분으로, 등장한 횟수만큼 인덱스 출력

# 실행 결과 : 0 0 1 1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 

• 계수 정렬의 시간 복잡도
  • 모든 데이터가 양의 정수인 상황에서 데이터의 개수를 N, 데이터 중 최댓값의 크기를 K라고 할 때, 계수 정렬의 시간 복잡도는 O(N + K)
    • 데이터를 하나씩 확인하면서 리스트에서 적절한 인덱스의 값을 1씩 증가시키기 위해 N번 반복 + 리스트의 각 인덱스에 해당하는 값들을 확인할 때 K번 반복
  • 데이터의 범위만 한정되어 있다면 항상 효과적으로 빠르게 동작
• 계수 정렬의 공간 복잡도
  • 공간 복잡도는 O(N + K) 
  • 계수 정렬은 경우에 따라 심각한 비효율성을 초래할 수 있음
    • ex) 데이터가 0과 999,999 단 2개만 존재할 경우 리스트의 크기가 100만 개가 되도록 선언해야 함
• 계수 정렬의 특징 
  • 항상 사용할 수 있는 정렬 알고리즘은 아니며, 동일한 값을 가지는 데이터가 여러 개 등장할 때 효과적
    • ex) 성적의 경우 100점이 여러 명일 수 있기 때문에 효과적
  • 반면 퀵정렬은 평균적으로 빠르게 동작하므로, 데이터의 특성을 파악하기 어렵다면 퀵 정렬을 이용하는 것이 유리
  • 계수 정렬은 데이터의 크기가 한정되어 있고, 데이터의 크기가 많이 중복되어 있을수록 유리하며 항상 사용할 수는 없음.
  • 하지만 조건만 만족한다면 정렬해야 하는 데이터의 개수가 매우 많을 때에도 효과적으로 사용 가능