[최단 경로] 최단 경로 알고리즘 (3) 플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 사용
• 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘 수행
  • 다익스트라와 달리, 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없음
• 시간 복잡도는 O(N^3)
  • 노드의 개수가 N개일 때, 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려함
•  최단 거리 정보를 저장하기 위해 2차원 리스트 사용
  • 다익스트라는 시작 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트 사용
  • 플로이드 워셜은 모든 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 저장하기 위해 2차원 리스트 사용
• 다이나믹 프로그래밍 방식
  • 노드의 개수가 N개일 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신함
• 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐가는 경우를 고려함
  • ex) 1번 노드에 대해 확인할 경우, 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려함. 즉, A ➡️ 1번 노드 ➡️ B로 가는 비용을 확인한 후, 기존 거리와 비교하여 최단 거리로 갱신
• 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 두 쌍 (A, B)를 선택한 후 A ➡️ 1번 노드 ➡️ B로 가는 비용을 확인하여 최단 거리 갱신
  • 이때, (A, B)와 (B, A)는 다름
  • (N-1) P 2 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인
• 점화식은 다음과 같음
  • Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
  • A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 최소 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신
  • 위의 점화식에 따라 3중 반복문으로 소스코드 구현 가능

소스코드

• 초기 테이블 설정
  1. 우선 모든 원소를 INF로 초기화 
  2. 자기 자신으로 가는 거리는 0으로 설정 (모든 i에 대해 Dii = 0)
  3. 연결된 간선은 해당 값으로 채워 넣기
  4. 연결되지 않은 간선은 INF로 남아 있음
• 점화식을 기반으로 3중 반복문 수행
• 최종적으로 거리 테이블에는 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보가 기록됨
  • ex) D[1][3] = 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리
• 시간 복잡도는 O(N^3)

# 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트 (그래프)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아서 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # a에서 b로 가는 비용은 c
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
  for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, INF라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print('INF', end = ' ')
    # 도달할 수 있는 경우 거리 출력
    else:
      print(graph[a][b], end = ' ')
  print()

 

입력 예시

4 7 1 2 4 1 4 6 2 1 3 2 3 7 3 1 5 3 4 4 4 3 2

출력 예시

0 4 8 6  3 0 7 9  5 9 0 4  7 11 2 0