[그래프] 그래프 알고리즘 (3) 위상 정렬

위상 정렬

• 정렬 알고리즘의 일종
• 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용
  • ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 결정
• 그래프에서 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있음
• 진입차수 (indegree)
  • 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 위상 정렬 알고리즘
  1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다
  2. 큐가 빌 때까지 다음 과정을 반복한다
     1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다
     2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다
  3. 위 과정을 반복하면서 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 바로 위상 정렬 수행 결과가 됨
• 모든 원소를 방문하기 전에, 즉  큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재하는 것
  • 보통 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 많음
  • 아래 소스코드는 사이클이 발생하는 경우를 고려하지 않은 것
• 위상 정렬의 답안은 여러 가지가 될 수 있음
  • 만약 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상일 경우, 큐에 들어가는 순서에 따라 위상 정렬 답안이 달라짐
• 위상정렬 알고리즘 소스코드

from collections import deque

# 노드 개수와 간선 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보 입력받기
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a].append(b) # 정점 A에서 정점 B로 이동 가능
  indegree[b] += 1 # 진입 차수 1 증가

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
  result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
  q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

  # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
  for i in range(1, v + 1):
    if indegree[i] == 0:
      q.append(i)
      
  # 큐가 빌 때까지 반복
  while q:
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
    for i in graph[now]:
      indegree[i] -= 1
      # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
      if indegree[i] == 0:
        q.append(i)

  # 위상 정렬 수행 결과 출력
  for i in result:
    print(i, end = ' ')

topology_sort()

• 입력 예시

7 8 1 2 1 5 2 3 2 6 3 4 4 7 5 6 6 4

• 출력 예시

1 2 5 3 6 4 7

• 위상 정렬의 시간 복잡도
  • O(V + E)
  • 차례대로 모든 노드를 확인하면서 해당 노드에서 출발하는 모든 간선을 차례대로 제거
  • 즉, 모든 노드와 간선을 방문함